Coordenadas polares
Se dice que el par ordenado \(\left(a,b\right)\) donde \(a\) y \(b\) pertenecen a \(\mathbb{R}\) está escrito en coordenadas rectangulares, esto es debido a que las rectas \(x=a\) y \(y=b\) forman un rectángulo con los ejes de coordenadas. Otra manera de escribir un par ordenado es llamada coordenadas polares.
Un punto \(\left(x,y\right)\) se escribe en coordenadas polares en la forma \(\left(r,\phi\right)\) donde \(r\) representa la distancia dirigida desde el origen de coordenadas llamado polo al punto \(\left(x,y\right)\) y \(\phi\) (phi) es el ángulo que forman el eje \(x\) positivo llamado eje polar y el radio vector dibujado desde el polo al punto \(\left(x,y\right)\). Como de costumbre \(\phi\) es positivo cuando su sentido de giro es contrario al giro de las manecillas del reloj, y para evitar ambigüedades se toma el radio vector \(r\) siempre positivo.
La combinación de estos elementos describe un nuevo sistema llamado sistema de coordenadas polares donde un punto \(P\left(r,\phi\right)\) se ubica especificando su posición con respecto al eje polar (recta fija horizontal) y al polo, punto de intersección del eje polar con una recta perpendicular llamada eje a \(\pi/2\)
El ángulo \(\phi\) no es único y puede medirse en radianes o grados, sin embargo, es poco común trabajar en grados, así que casi siempre \(\phi\) se mide en radianes. Para diferenciar cualquier otro ángulo \(\theta\) (theta) que sea coterminal con el ángulo \(\phi,\) se dice que \(\phi\) es el argumento principal, el cual cumple la condición \(\tan{\phi}=\left(y/x\right),\) pero no necesariamente \(\phi=\tan^{-1}{\left(y/x\right)}\) ya que cualquier ángulo \(\theta=\phi+2n\pi\) donde \(n\in\mathbb{N}\) cumple esta condición. Como consecuencia de esto un punto \(\left(r,\phi\right)\) representa un único par en el sistema rectangular, en cambio un punto \(\left(x,y\right)\) puede ser representado de diversas formas en coordenadas polares, mediante el uso de las ecuaciones de transformaciones rectangulares-polares. El par \(\left(r,\phi\right)\) es el par principal.
Ecuaciones de transformaciones rectangulares-polares.
Sea el punto \(P\left(x,y\right)\) un punto cualquiera del plano cartesiano el cual se desea escribir en coordenadas polares, donde el polo y el eje polar son coincidentes con el origen y el eje \(x\) positivo en el sistema rectangular, entonces de la figura de arriba se deducen las ecuaciones de transformación de coordenadas rectangulares a polares (y viceversa) en la manera siguiente.
Transformación rectangular-polar
\begin{align}
&\cos{\phi}=x/r\Longrightarrow x=r\cos{\phi}\\
&\sin{\phi}=y/r\Longrightarrow y=r\sin{\phi}\\
&r^2=x^2+y^2\Longrightarrow r=\sqrt{x^2+y^2}\\
&\tan{\phi}=\left(y/x\right)\ \ {\rm donde} \ \ 0\le\phi\le2\pi\end{align}
Los signos de \(x\) y ye proporcionan el cuadrante al cual pertenece el punto \(P(x,y)\) por lo que, de esto, es posible calcular el valor de ángulo \(\phi\) como sigue:
Si \((x,y)\) se ubica en primer cuadrante, \(\phi=\tan^{-1}{\left(y/x\right)}\)
Si \((x,y)\) se ubica en segundo o tercer cuadrante, \(\phi=\tan^{-1}{\left(y/x\right)}+\pi\)
Si \((x,y)\) se ubica en cuarto cuadrante, \(\phi=\tan^{-1}{\left(y/x\right)}+2\pi\)
En el cálculo la unidad angular es el radian, aunque es posible mediante la relación \(\pi=180°\) escribir el ángulo \(\phi\) medido en grados, si así se desea.
Ecuaciones polares.
Una ecuación en coordenadas polares por lo general es una expresión en la forma \(f(r)=f\left(\phi\right)\) aunque en algunos casos se pueden tener ecuaciones de forma \(r=f\left(\phi\right)\). Si para todo valor de \(\phi\) el radio vector \(r\) es finito, la ecuación representa una curva cerrada, para aquellos valores de \(\phi\) que producen imágenes complejas de \(r\) la ecuación no representa ninguna curva.
Ecuación de una recta en forma polar.
Al considerar la ecuación de una recta en coordenadas polares se pueden tener dos casos de estudio:
1. La recta contiene al polo.
2. La recta no contiene al polo.
Para el primer caso se inicia considerando la expresión \(y=mx+n\) de una recta en coordenadas cartesianas en la cual por comodidad se elige \(n=0\) de donde solo queda la expresión \(y=mx.\) Usando las ecuaciones de trasformación de coordenadas cartesianas a polares, \(r\sin{\phi}=mr\cos{\phi}\Longrightarrow\tan{\phi}=m,\) así que una recta que pasa por polo es el conjunto de todos los puntos tales que \(\tan{\phi}=m.\) Por los general resulta más simple una vez se tiene la ecuación polar usar la transformación a coordenadas rectangulares y graficar la recta.
Para más contenidos y luego clic en la pestaña del contenido deseado.
Graficando funciones polares.
Dado que el sistema de coordenadas polares no es un sistema rectangular como el plano cartesiano, para graficar expresiones en coordenadas polares se hace necesario de un nueva representación gráfica llamada plano polar, el cual está formado por circunferencias concéntricas las cuales tienen por centro al polo y una serie de rectas convergentes todas al polo, como se muestra en la figura de la izquierda.
Por conveniencia se elige el radio \(r\) de la primera circunferencia como escala para los demás radios, siendo estos múltiplos enteros de \(r\) y las rectas trazadas se dibujan con igual ángulo una con respecto de la otra, para la estética.
Al igual el plano cartesiano al graficar en el plano polar conviene y es necesario realizar una tabla de valores la cual brinde información sobre los valores de \(\phi\) contra \(r.\) Aunque los punto polares son de la forma \(P\left(r,\phi\right)\) se le da valores a \(\phi\) para obtener \(r.\) Mientras más puntos se logren determinar más precisa será la gráfica, como siempre se recomienda graficar las intersecciones con los ejes, en caso de que existan entre los puntos a graficar.
Recta en coordenadas polares.
Al graficar rectas en coordenadas polares se distinguen dos casos:
1. Rectas que pasan por el polo.
2. Rectas que no pasan por el polo.
Para aquellos casos en que una recta contiene el polo, se inicia por analizar la ecuación cartesiana de una recta \(y=mx+n\) por comodidad se elige \(n=0\) de donde queda \(y=mx\). Usando las ecuaciones de trasformación.
Algunas consideraciones importantes al graficar en el plano polar son:
Determinar las intersecciones, si las hay.Determinar la simetría, si las hay.
Determinar la extensión de la curva (si es finita o no).
Determinar mediante una tabla de valores la mayor cantidad de puntos posibles con los cuales quede bien definida la curva.
Unir con una curva suave todos los puntos encontrados teniendo en cuenta que las rectas convergentes están cada una a \(\phi\) radianes, además el lugar geométrico puede tener más de una representación polar, por lo que se debe estar seguro de la respuesta. Analice dos veces y grafique una vez.
Intersecciones.
Si existen intersecciones con el eje polar, estas quedan determinadas al resolver r remplazando \(\phi=n\pi\) donde \(n\in\ \mathbb{Z}.\) Las intersecciones al eje \(\pi/2\) (si existen) quedan determinadas haciendo \(\phi=frac{n}{2}\pi\) en donde \(n\) es impar. La gráfica pasa por el polo si para algún valor de \(\phi\) se tiene \( r=0\).
Simetrías.
Al igual en que en el plano cartesiano la simetría en el plano polar puede ser analizada desde tres francos, el eje polar, el eje de ordenada y el origen, en cambio en el plano polar, eje a \(\pi/2\) y claro está simetría con el polo.
Simetría al eje polar. Se dice que la gráfica de una expresión polar es simétrica al eje polar si para cada punto \(P\left(r,\phi\right)\) existe también el punto \(P\prime\left(r,-\phi\right)\), esto es, el eje polar biseca (corta en el punto medio) el segmento de recta \(PP\prime\). Una expresión polar es simétrica al eje polar si al sustituir \(\phi\) por \(-\phi\) resulta una ecuación equivalente.
Simetría al eje a \(\pi/2\). La grafica de una expresión polar es simétrica con el eje a \(\pi/2\) si al sustituir \(r\) por \(-r\) y \(\phi\) por \(-\phi\) resulta una expresión equivalente, esto es, para todo par \(P\left(r,\phi\right)\) que pertenece a la gráfica entonces también está en la gráfica el par \(P\left(-r,-\phi\right).\)
Simetría al polo. La gráfica de una ecuación polar es simétrica al polo si al sustituir \(r\) por \(-r\) resulta una ecuación equivalente, esto es para cada punto \(P\left(r,\phi\right)\) de la gráfica existe además el punto \(P\left(-r,\phi\right)\). Las condiciones de simetría en el plano polar se resumen en la tabla siguiente.
Simetría en coordenadas polares
Para más contenidos y luego clic en la pestaña del contenido deseado.
Áreas en coordenadas polares.
De manera similar a como se determina el área debajo de una curva en coordenadas rectangulares, es posible al trabajar con coordenadas polares determinar el área encerrada por una curva en una región polar al aplicar la siguiente definición.
Área de una región polar.
Sea \(f\left(\phi\right)\) una función no negativa comprendida para \(\alpha\le\phi\le\beta\) donde además \(0\le\beta-\alpha\le2\pi\), entonces en área de la región limitada por la gráfica de \(r=f\left(\phi\right)\) y las rectas radiales \(\phi_1=\alpha\) y \(\phi_2=\beta\) está dada por la expresión, $$A=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}{r^2d\phi}$$
Longitud de una curva en coordenadas polares.
Ahora se considera nuevamente el problema de determinar la longitud de arco de una curva, pero en esta ocasión dirigiendo la mirada hacia las coordenadas polares. Al considerar una curva C de ecuaciones paramétricas \(x=f\left(t\right);~~ y={\rm g}\left(t\right)\) la cual no se interseca a si misma en el intervalo \(a\le t\le b\) excepto posiblemente en los puntos extremos \(a\) ó \(b\) entonces de la expresión ya conocida para la longitud de arco de una curva mediante sus ecuaciones paramétricas, $$s=\int_{a}^{b}{\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}dt}$$ que por ser una integral definida se puede escribir considerando \(\phi=t\) como, $$s=\int_{a}^{b}{\sqrt{\left(\frac{dx}{d\phi}\right)^2+\left(\frac{dy}{d\phi}\right)^2}d\phi}$$ dado que \(r=f\left(\phi\right)\) las expresiones para las coordenadas \(x=r\cos{\phi}\) y \(y=r\sin{\phi}\) se escriben como $$x=f\left(\phi\right)\cos{\phi};~~ y=f\left(\phi\right)\sin{\phi}$$ derivando con respecto de \(\phi,\) \begin{align} &\frac{dx}{d\phi}=f^\prime\left(\phi\right)\cos{\phi}-f\left(\phi\right)\sin{\phi}\\ &\frac{dy}{d\phi}=f^\prime\left(\phi\right)\sin{\phi}+f\left(\phi\right)\cos{\phi}\end{align} las cuales al ser sustituidas en la expresión anterior y reemplazar los límites de integración por los valores \(\alpha\) y \(\beta\) conducen al resultado, \begin{align} &s=\int_{\alpha}^{\beta}{\sqrt{\left(f^\prime\left(\phi\right)\cos{\phi}-f\left(\sin{\phi}\right)\sin{\phi}\right)^2+\left(f^\prime\left(\phi\right)\cos{\phi}-f\left(\phi\right)\sin{\phi}\right)^2}d\phi}\\ &s=\int_{\alpha}^{\beta}{\sqrt{{(f^\prime\left(\phi\right))}^2(\cos^2{\phi}+\sin^2{\phi})+{(f\left(\phi\right))}^2(\cos^2{\phi}+\sin^2{\phi})}d\phi}\\ &s=\int_{\alpha}^{\beta}{\sqrt{{(f^\prime\left(\phi\right))}^2+{(f\left(\phi\right))}^2}d\phi}=\int_{\alpha}^{\beta}{\sqrt{r^2+\left(\frac{dr}{d\phi}\right)^2}d\phi}\end{align}
Longitud de curva en coordenadas polares.
$$s=\int_{\alpha}^{\beta}{\sqrt{r^2+\left(\frac{dr}{d\phi}\right)^2}d\phi}$$
Para más contenidos y luego clic en la pestaña del contenido deseado.
De cartesinas a polares. Determinar las coordenadas polares del punto cuyas coordenadas rectangulares son \((-1,1).\)
De polar a rectangular. Determinar las coordenadas rectangulares del punto cuyas coordenadas polares son \((3,\pi/6)\)
Ecuación de una recta. Determinar la pendiente de la recta cuya ecuación polar es \(r(\sin{\phi}-2\cos{\phi})-5=0\)
Ecuación de una circunferencia. En coordenadas polares la ecuación de una circunferencia es se puede escribir en la forma \(r=n\cos{\phi}\) donde \(n\in\mathbb{R}.\) Determinar el centro y el radio de la circunferencia \(r=6\cos{\phi}.\)
Una lemniscata. La gráfica de la curva \(r=2\sqrt{\cos{2\phi}}\) es llamada “lemniscata” (símbolo de infinito). Determinar la ecuación cartesiana de dicha curva.
\begin{align}
&r^2r^2+4r^2-8x^2=0\\
&(x^2+y^2)(x^2+y^2)+4(x^2+y^2)-8x^2=0\\
&x^4+y^4+2x^2y^2+4x^2+4y^2-8x^2=0\\
&x^4+y^4+2x^2y^2-4x^2+4y^2=0\end{align}